複利シミュレーターの計算式（理論・実装整合版）

本ページでは、当サイトの複利シミュレーターの計算構造を、具体的な数値例と途中計算を含めて整理します。抽象式だけでなく、実際に代入・計算しながら確認します。

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1. 記号定義

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2. 検算用パラメータ

本ページでは以下を固定して検算します。

• 初期元本 $P_0 = 0$ 円
• 毎月積立額 $c = 120,000$ 円
• 年率 $r = 0.05$（=5%）
• 運用期間 $Y = 20$ 年
• 手数料 $f = 0$
• 税率 $t = 0.20315$（=20.315%）
• 配当利回り $d = 0.02$（=2%）
• 値上がり率 $g = 0.03$（=3%）
• インフレ率 $i = 0$

総拠出額：

$$120,000 \times 240 = 28,800,000$$

NISA枠（18,000,000円）を超える設定です。

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3. 年率を月率へ変換する理由

本ツールは月単位で残高を更新します。年率のまま計算すると複利の整合が取れません。単純に $r/12$ とするのではなく、「1年間で r になる月率」を逆算します。そのため、

$$r_m = (1+r)^{1/12} - 1$$

を用います。

数値代入

$$r_m = (1+0.05)^{1/12}-1$$ $$= 1.004074 - 1$$ $$= 0.004074$$

月0.4074%の成長率です。

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4. 分配なし（投資信託）モデル

なぜこの式になるか

分配なしの場合、利益はすべて自動再投資されます。1か月の流れは：

1. 前月残高に成長率をかける
2. 手数料を差し引く
3. 積立を加える（期末の場合）

手数料ゼロ・期末積立なら、

$$B_{n+1} = B_n(1+r_m) + c$$

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1か月目

$$B_1 = 0 \times 1.004074 + 120,000$$ $$= 120,000$$

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2か月目

成長部分：

$$120,000 \times 1.004074$$ $$= 120,488.88$$

積立：

$$120,488.88 + 120,000$$ $$= 240,488.88$$

複利効果が発生し始めます。

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3か月目

$$240,488.88 \times 1.004074$$ $$= 241,468.63$$ $$241,468.63 + 120,000$$ $$= 361,468.63$$

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4〜11か月目（一覧）

同じ漸化式 $B_{n+1} = B_n \times 1.004074 + 120{,}000$ を繰り返します。

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12か月目

$$1,347,219.72 \times 1.004074$$ $$= 1,352,708.29$$ $$1,352,708.29 + 120,000$$ $$= 1,472,708.29$$

同様の計算を積み立て月数繰り返します。

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分配なしモデルをこの条件で試す

本章の条件でそのまま確認できます。

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5. 分配あり（ETF）モデル

年率の分解について

課税口座では配当部分のみに税がかかるため、価格上昇と配当を別々に扱う必要があります。 そのため、分配あり（ETF）モデルでは、期待年率 $r$ を、

• 値上がり部分 $g$
• 配当部分 $d$

に分解します。

$$r = g + d$$

今回：

$$g = 0.03$$ $$d = 0.02$$

となります。

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月率変換

$$g_m = (1+0.03)^{1/12}-1$$ $$= 1.002466 - 1$$ $$= 0.002466$$ $$d_m = (1+0.02)^{1/12}-1$$ $$= 1.001652 - 1$$ $$= 0.001652$$

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計算例（ここでは説明のため初期残高100万円と仮定）

$$B_0 = 1,000,000$$

① 値上がり部分を計算すると

$$1,000,000 \times (1+0.002466)$$ $$= 1,000,000 \times 1.002466$$ $$= 1,002,466$$

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② 配当部分（課税口座）

実効配当率：

$$0.001652 \times (1-0.20315)$$ $$= 0.001652 \times 0.79685$$ $$= 0.001316$$

配当を再投資した場合の適用：

$$1,002,466 \times (1+0.001316)$$ $$= 1,002,466 \times 1.001316$$ $$\approx 1,003,785$$

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複数月の場合

1か月の成長因子は

$$(1+g_m)(1+d_m(1-t))$$

2か月ならこの因子を2回掛けます。

$$B_2 = B_0 \times \text{因子}^2$$

月次で同じ演算を繰り返します。

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分配ありETFを検算する

配当課税ありで1年確認できます。

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6. NISAと課税口座の配分

新NISAは、

• 積立投資枠
• 成長投資枠

の合計で生涯1,800万円となります。投資信託のみで埋めることも可能です。本ツールでは、この生涯投資上限のみをモデル化しています。

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変数定義

NISA口座積立額

$$c_{\text{NISA}} = \min(c,\;\text{NISA残り枠})$$

課税口座積立額

$$c_{\text{tax}} = c - c_{\text{NISA}}$$

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到達月

初期投資0円で、毎月12万円ずつNISA口座に投資していくと、

$$18,000,000 ÷ 120,000 = 150$$

150か月で枠の上限に到達します。151か月目以降は入金額の全額が課税口座に加算されます。

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NISA枠超過を確認する

20年運用で途中から課税口座へ回ります。

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7. 手数料（信託報酬）の扱い

なぜ手数料を別で扱うのか

投資信託やETFには、年率で信託報酬（運用コスト）がかかります。例えば年率 0.3% の場合、

$$f = 0.003$$

です。このコストは毎年まとめて引かれるのではなく、実際には日次または月次で資産から差し引かれています。本ツールでは、年率手数料を単純月割で扱っています。

$$f_m = \frac{f}{12}$$

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月率への変換

例：年率 0.3% の場合

$$f_m = \frac{0.003}{12}$$ $$= 0.00025$$

つまり月 0.025% のコストです。

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分配なしモデルでの適用順

月内処理は以下の順です：

1. 成長率を掛ける
2. 手数料を差し引く
3. 積立を加える（期末の場合）

式：

$$B_{n+1} = B_n (1+r_m)(1-f_m) + c$$

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数値例（1か月分）

前月残高 1,000,000円 年率 5% → 月率 0.004074 年率手数料 0.3% → 月率 0.00025

① 成長部分：

$$1,000,000 \times 1.004074$$ $$= 1,004,074$$

② 手数料控除：

$$1,004,074 \times (1 - 0.00025)$$ $$= 1,004,074 \times 0.99975$$ $$= 1,003,823$$

この差額：

$$1,004,074 - 1,003,823 = 251$$

これが1か月分のコストです。

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なぜ「利回り − 手数料」ではないのか

よく

実質利回り = 5% − 0.3% = 4.7%

と単純に引き算しますが、厳密には違います。正しくは：

$$(1+r_m)(1-f_m)$$

です。数値代入：

$$1.004074 \times 0.99975$$ $$= 1.003823$$

月次の実質成長率は：

$$0.003823$$

年率換算すると：

$$(1.003823)^{12} - 1$$ $$\approx 0.0470$$

約 4.70% になります。つまり長期では 複利同士の掛け算 になります。

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長期影響（20年）

年5%、手数料0% → 最終資産 約 2,290万円

年5%、手数料0.3% → 実質約4.7%

20年後は約 2,160万円前後になります。差額は約 130万円。これが「誤差ではない」と言われる理由です。

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手数料0.3%で検算する

本章の条件で手数料の影響を確認できます。

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8. 売却時課税

最終的に課税口座のみ対象にして算出します。

例：最終残高 10,000,000円 元本 8,000,000円

利益：

$$2,000,000$$

税額：

$$2,000,000 \times 0.20315$$ $$= 406,300$$

税引後残高：

$$10,000,000 - 406,300$$ $$= 9,593,700$$

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売却時課税を確認する

課税口座での最終税額を確認できます。

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9. インフレによる現在価値への調整

シミュレーション結果は名目値（将来時点の金額）で表示されますが、インフレが進むと同じ金額でも購買力は下がります。 例えば年2%のインフレが20年続くと、物価は約1.5倍になるため、将来の2,000万円は今の約1,346万円分の価値しかありません。 「実際にどれだけの生活費に相当するか」を把握するために、ここではインフレ率で割り戻した現在価値を算出します。

$$B_{real} = \frac{B_{final}}{(1+i)^Y}$$

例えば年2%で20年なら：

$$(1.02)^{20} \approx 1.4859$$

名目2,000万円なら、

$$20,000,000 ÷ 1.4859$$ $$\approx 13,460,000$$

となります。

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インフレ調整を確認する

インフレ率2%で現在価値を確認できます。

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10. 整合性チェック

次を確認できれば、理論と実装は一致しています。

• 150か月目でNISA枠到達
• 配当課税が配当部分にのみ適用されている
• 売却時にのみ含み益課税されている

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本記事の条件で最終検算する

本文のパラメータをすべて入力済みで開きます。

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11. まとめ

1. 配当課税は指数成長率を低下させる
2. NISAは複利効率を最大化する制度である
3. 長期では指数差が支配的になる

以上が、本ツールの計算構造です。

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