複利シミュレーターの計算式（理論・実装整合版）

本ページでは、当サイトの複利シミュレーターの計算構造を、具体的な数値例と途中計算を含めて整理します。抽象式だけでなく、実際に代入・計算しながら確認します。

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1. 記号定義

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2. 検算用パラメータ

本ページでは以下の値を固定して計算を検証します。

総拠出額：120,000円 × 240ヶ月（20年）= 28,800,000円

新NISAの生涯上限1,800万円を超える設定です。150ヶ月目でNISA枠が満額になり、以降は課税口座への積立になります。

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3. 年率を月率へ変換する方法

本ツールは月単位で残高を更新します。年率のまま計算すると複利の整合が取れないため、「1年間でrになる月率」を逆算します。

月率変換の式：

r_m = (1 + r)^(1/12) - 1

数値代入（r = 0.05の場合）：

r_m = (1 + 0.05)^(1/12) - 1
    = 1.05^(1/12) - 1
    = 1.004074 - 1
    = 0.004074

月0.4074%の成長率になります。

なぜ r/12 ではないのか：

単純に r/12 = 0.05/12 ≈ 0.004167 を使うと、12ヶ月の複利計算後に (1.004167)^12 = 1.05116 となり、年率5%より少し大きくなります（誤差が生じます）。正確な月率換算には (1+r)^(1/12) - 1 を使う必要があります。

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4. 分配なし（投資信託）モデル

なぜこの式になるか

分配なしの投資信託では、利益はすべて自動再投資されます。1ヶ月の処理の流れは次の通りです。

1. 前月残高に成長率をかける（複利成長）
2. 手数料を差し引く（手数料ゼロの場合はスキップ）
3. 積立を加える（期末積立の場合）

手数料ゼロ・期末積立の漸化式：

B_(n+1) = B_n × (1 + r_m) + c

計算例（最初の12ヶ月）

1ヶ月目：

B_1 = 0 × 1.004074 + 120,000 = 120,000円

2ヶ月目：

120,000 × 1.004074 = 120,488.88円（成長後）
120,488.88 + 120,000 = 240,488.88円（積立後）

3ヶ月目：

240,488.88 × 1.004074 = 241,468.63円（成長後）
241,468.63 + 120,000 = 361,468.63円（積立後）

4〜12ヶ月目の一覧：

240ヶ月（20年）この計算を繰り返すと最終残高が算出されます。

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5. 分配あり（ETF）モデル

年率の分解

課税口座では配当部分のみに税がかかります。価格上昇と配当を分けて扱う必要があるため、期待年率 r を次のように分解します。

r = g（値上がり部分）+ d（配当部分）
今回：g = 0.03、d = 0.02

月率変換

値上がり部分（g_m）：

g_m = (1 + 0.03)^(1/12) - 1
    = 1.002466 - 1
    = 0.002466

配当部分（d_m）：

d_m = (1 + 0.02)^(1/12) - 1
    = 1.001652 - 1
    = 0.001652

計算例（初期残高100万円の場合）

ステップ1：値上がり部分の計算

1,000,000 × (1 + 0.002466) = 1,002,466円

ステップ2：配当部分（課税口座）

課税後の実効配当率：

0.001652 × (1 - 0.20315) = 0.001652 × 0.79685 = 0.001316

配当再投資後：

1,002,466 × (1 + 0.001316) ≈ 1,003,785円

1ヶ月の成長因子

成長因子 = (1 + g_m) × (1 + d_m × (1 - t))

複数月では、この成長因子を繰り返し掛け合わせます。

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6. NISAと課税口座の配分

新NISAの生涯投資枠は1,800万円です。積立投資枠と成長投資枠の合計が上限となります。

NISA口座積立額の計算：

c_NISA = min(c, NISA残り枠)
c_taxable = c - c_NISA

NISA枠到達月の計算：

毎月12万円積み立てた場合：

18,000,000 ÷ 120,000 = 150ヶ月（12年6ヶ月）

150ヶ月目でNISA枠の上限に到達します。151ヶ月目以降、新規積立の全額が課税口座に入ります。

課税口座への配分の影響：

NISA枠内なら運用益・配当が非課税ですが、課税口座では配当に約20.315%の税がかかります。20年の積立で途中から課税口座に切り替わると、最終的な手取り資産が減少します。

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7. 手数料（信託報酬）の扱い

手数料を別に扱う理由

投資信託やETFには年率で信託報酬がかかります。例えば年率0.3%の場合（f = 0.003）、このコストは毎年まとめて引かれるのではなく、日次または月次で差し引かれます。

月率への変換（簡易版）：

f_m = f / 12
例：0.003 / 12 = 0.00025（月0.025%）

分配なしモデルでの適用

月内処理の順：

1. 成長率を掛ける
2. 手数料を差し引く
3. 積立を加える（期末の場合）

式：

B_(n+1) = B_n × (1 + r_m) × (1 - f_m) + c

数値例（1ヶ月分）

前月残高1,000,000円・年率5%→月率0.004074・年率手数料0.3%→月率0.00025：

① 成長後：1,000,000 × 1.004074 = 1,004,074円
② 手数料控除：1,004,074 × (1 - 0.00025) = 1,004,074 × 0.99975 = 1,003,823円
1ヶ月分のコスト：1,004,074 - 1,003,823 = 251円

「利回り − 手数料」と複利の違い

よく「実質利回り = 5% − 0.3% = 4.7%」と計算しますが、厳密には正確ではありません。

正確な月次実質成長率：

(1 + r_m) × (1 - f_m) = 1.004074 × 0.99975 = 1.003823
月次実質成長率 = 0.003823
年率換算 = (1.003823)^12 - 1 ≈ 0.04685（約4.69%）

「5% − 0.3% = 4.7%」という単純計算より、正確な実質年率は約4.69%とわずかに低くなります。差は小さいですが、長期複利では積み上がります。

長期（20年）での手数料の影響

同じ年率5%でも、信託報酬0.3%の差が20年間（毎月6万円の積立）で約83万円の差になります。積立額が大きいほど、また期間が長いほど、この差はさらに広がります。

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8. 売却時課税

課税口座の最終残高に含まれる利益部分に約20.315%の税がかかります。

計算式：

税額 = 利益 × t = (最終残高 - 元本) × 0.20315
税引後残高 = 最終残高 - 税額

数値例：

最終残高：10,000,000円
元本（拠出総額）：8,000,000円
利益：2,000,000円
税額：2,000,000 × 0.20315 = 406,300円
税引後残高：10,000,000 - 406,300 = 9,593,700円

NISA口座の場合は税引後の処理が不要です（非課税）。

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9. インフレによる現在価値の調整

シミュレーション結果は名目値（将来時点の金額）で表示されます。インフレが進むと同じ金額でも購買力は下がります。

現在価値の計算式：

B_real = B_final / (1 + i)^Y

数値例（インフレ率2%・20年）：

インフレ係数 = (1.02)^20 ≈ 1.4859
名目2,000万円の現在価値 = 20,000,000 ÷ 1.4859 ≈ 13,460,000円（約1,346万円）

年2%のインフレが20年続くと、将来の2,000万円は今日の購買力で約1,346万円相当になります。老後資金計画ではこの購買力の低下も考慮する必要があります。

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10. 整合性チェックポイント

計算の実装が正しいかを確認する項目です。

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まとめ

1. 月率変換は (1+r)^(1/12) - 1 を使う（単純割り算より正確）
2. 分配あり（ETF）は値上がり部分と配当部分を分離して課税を適用する
3. NISAは150ヶ月（12年6ヶ月）でツールの上限に到達し、以降は課税口座に切り替わる
4. 手数料は長期複利で積み上がり、毎月6万円・20年の積立では0.3%の差が約83万円の資産差になる
5. 売却時課税は課税口座の利益部分のみに適用（NISAは非課税）
6. インフレ調整で将来の名目額から今日の購買力を逆算できる

本記事の条件で実際に計算する

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